MATEMÁTICA I

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conforme, Dante (2013, p. 115), São seis tipos de conjuntos, a saber: Conjunto dos Números naturais (N), Conjunto dos Números inteiros (Z),Conjunto dos Números racionais (Q),Conjunto dos Números irracionais (IR),Conjunto dos Números reais (R) e Conjunto dos Números complexos (C).

• CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)

Segundo, Dante (2013, p. 115), o Conjunto dos Números Naturais são os números: N={0,1,2,3,4,5,6,...}. Ele inicia-se com o número zero. Com exceção no número “zero” e do “um” nesse conjunto, cada sucessor é igual ao seu antecessor mais um. Exemplo: O (dois) é igual, um mais um; O (três) é igual, dois mais um; O (quatro) é igual, três mais um; E sucessivamente. Para excluir o “zero” desse conjunto, deve-se colocar um * ao lado do símbolo: N∗={1,2,3,4,5,6,...}. (FILHO e SILVA, 2000, p. 671)

• CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS(Z)

Para, Filho e Silva (2000, p. 671), os números naturais foram uma grande descoberta, mas com os mesmos, o homem não conseguia representar as perdas e as dívidas e nem a temperatura negativa. Então, foi necessária a elaboração do conjunto dos números inteiros: Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}. No conjunto de números naturais, todo número tem um oposto, ou seu simétrico, por exemplo: -1, 1; -2, 2; -3, 3; são opostos ou simétricos. Todo número natural é também inteiro, mas nem todo número inteiro é natural. Assim, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. (DANTE, 2013, p. 115)

• CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS(Q)

Conforme, Dante (2013, p. 115), com a necessidade de contabilizar, ou demonstrar parte de um número inteiro, foi imprescindível a elaboração do Conjunto dos Números Racionais. Os quais são formados por todos os elementos que podem ser escritos, por meio de um denominador (coeficiente que fica na parte inferior do traço divisor), e de um numerador (coeficiente que fica na parte superior do traço divisor). Em outras palavras, números demonstrados na forma de fração. Exemplo:

(FILHO e SILVA, 2000, p. 671)

• CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS(IR)

Filho e Silva (2000, p. 671), afirmam que o Conjunto dos Números Irracionais compõe todos os números que não são possíveis de se descrever em forma de fração. Exemplos: Raízes não exatas, como: 2–√, 3–√, 5–√;Número π: Arredondando: 3,14;Para aproximar mais da realidade: 3,1415926;
{displaystyle pi approx 3,141592653589793}Logaritmo neperiano; Número de ouro ϕ (fi). Este conjunto não está contido em nenhum dos outros três, ou seja, nenhum número irracional é racional, inteiro ou natural e nenhum número natural, inteiro ou racional é irracional. (DANTE, 2013, p. 115)

• CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS(R)

Segundo, Dante (2013, p. 115), o Conjunto dos Números Reais é composto por todos os conjuntos numéricos anteriores. (FILHO e SILVA, 2000, p. 671)

• CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C)

Segundo, Dante (2013, p. 115), os conjuntos anteriores não atenderam alguns cálculos. Portanto, foi preciso que inventassem mais um conjunto numérico. Esse conjunto seria mais diferente dos outros. A sua representação é efetuada pela letra maiúscula C. E ele trabalha com uma estrutura “i”. Com esse conjunto é possível resolver raízes negativas. Conclui-se que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos. (FILHO e SILVA, 2000, p. 671)

2. ÁLGEBRA

Para, Vasconcellos, Scordamaglio e Cândido (2004, p. 592), a Álgebra é a parte da matemática que utiliza as variáveis e as incógnitas na operação. As variáveis é uma letra que representa um número qualquer. E as incógnitas é uma letra que representa um número desconhecido. Incógnita quer dizer, mistério. Tanto as variáveis como as incógnitas podem ser demonstradas através de qualquer letra. Mas as mais comuns são: X, Y e Z. Mas pode muito bem ser: a, b, c... Conheça as operações matemática que se faz na parte da Álgebra: Equações e inequações de todos os graus; Sistemas de equações; Funções de todos os graus. (CUNHA, 2017)

3. POTENCIAÇÃO

A Potenciação é uma operação matemática composta pelos seguintes elementos: Base, Expoente, Raiz e Potência. Neste capítulo estudaremos oito pontos, a saber: Base, Expoente, Raiz, Raízes quadradas perfeitas, Raízes quadradas racionais, Fórmula das raízes quadradas racionais, Expoentes negativos e Frações com expoentes negativos.

1. BASE:

Exemplos de base: 0^x, 1^x, 2^x, 3^x, 4^x, 5^x...

1. EXPOENTE:

Exemplos de expoente: x⁰, x¹, x², x³, x⁴, x⁵...

1. RAIZ:

A raiz de um número é um de seus múltiplos, quando é multiplicado por si mesmo. (Exemplos: A raiz de 4 é 2, porque: 2. 2 = 4; A raiz de 9 é 3, porque: 3. 3 = 9). Vejam outros exemplos:

• 0⁰ = 1, todo número “elevado a zero, ou de potência zero” é igual a “um”. Trata-se de ordem. Exemplos, os numerais ordinais: 1º = 1; 5º = 1; 10º = 1; 100º = 1;... Porque uma residência pode ser a décima, a quinquagésima, a milésima e etc. casa de uma rua, mas, todavia, ela é somente uma casa.

• 1¹ = 1, todo número “elevado a um, ou de potência um” é igual a si mesmo.  Exemplos: 2¹= 2; 3¹= 3; 4¹= 4;...

• 2² = 2. 2 = 4. Dois elevados a dois, ou dois de potência dois, mais conhecido como “dois ao quadrado” é igual a quatro. Se dois, vezes dois, é igual a quatro, dar-se-á que dois é a raiz quadrada de quatro.

• 3³ = 3. 3. 3 = 27. Três elevados a três, ou três de potência três, mais conhecido como “três ao cubo” é igual a vinte e sete. Se três, vezes três, vezes três, é igual a vinte e sete, dar-se-á que três é a raiz cúbica de vinte e sete.

• 4⁴ = 4. 4. 4. 4 = 256. Quatro elevados a quatro, ou quatro de potência quatro, é igual a duzentos e cinquenta e seis. Se quatro, vezes quatro, vezes quatro, vezes quatro, é igual a duzentos e cinquenta e seis, dar-se-á que quatro é a raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis.

• 5⁵ = 5. 5. 5. 5. 5 = 3.125. Cinco elevados a cinco, ou cinco de potência cinco, é igual a três mil, cento e vinte e cinco. [Curiosidade: as potências de cinco, a partir da expoente um, o último algarismo é “5” vejam: (5¹ = 5; 5²=25; 5³= 125; 5⁴= 625; 5⁵= 3.125...)]. Se cinco, vezes cinco, vezes cinco, vezes cinco, vezes cinco, é igual a três mil, cento e vinte e cinco, dar-se-á que cinco é a raiz quinta de três mil, cento e vinte e cinco.

• 5⁰ = 1, número “elevado a zero, ou de potência zero” é igual a “um”. Trata-se de ordem. Exemplos, numerais ordinais.

• 4¹ = 4, todo número “elevado a um, ou de potência um” é igual a si mesmo. 

• 3² = 3. 3= 9. Três elevados a dois, ou três de potência dois, mais conhecido como “três ao quadrado” é igual a nove. Se três, vezes três, é igual a nove, dar-se-á que três é a raiz quadrada de nove.

• 2³ = 2. 2. 2 = 8. Dois elevados a três, ou dois de potência três; mais conhecido como “dois ao cubo” é igual a oito. Se dois, vezes dois, vezes dois, é igual a oito, dar-se-á que dois é a raiz cúbica de oito.

• 1⁴ = 1. 1. 1. 1 = 1. Um elevado a quatro, ou um de potência quatro, é igual a um. Multiplicações por um são nulas.

• 0⁵ = 0. 0. 0. 0. 0 = 0 qualquer valor multiplicado por zero é igual a zero.

1. RAÍZES QUADRADAS PERFEITAS:

As primeiras raízes quadradas perfeitas (ou inteira) são:

√0 = 0; porque, 0²= 0. 0 = 0;

√1= 1; porque, 1²= 1. 1= 1;

√4= 2; porque, 2²= 2. 2= 4;

√9= 3; porque, 3²= 3. 3= 9;

√16= 4; porque, 4²= 4. 4= 16;

√25= 5; porque, 5²= 5. 5= 25;

√36= 6; porque, 6²= 6. 6= 36;

√49= 7; porque, 7²= 7. 7= 49;

√64= 8; porque, 8²= 8. 8= 64;

√81= 9; porque, 9²= 9. 9= 81;

√100= 10; porque, 10²= 10. 10= 100.

1. RAÍZES QUADRADAS RACIONAIS

As primeiras raízes quadradas imperfeitas (ou raízes racionais) são:

√2 ≈ 1, 41; porque, 1,41² = 1,41. 1,41≈ 2;

√3 ≈ 1,73; porque, 1,73² = 1,73. 1,73≈ 3;

√5 ≈ 2,23; porque, 2,23² =2,23. 2,23≈ 5;

√6 ≈ 2,459; porque, 2,459² = 2,459. 2,459≈ 6;

√7 ≈ 2, 645; porque, 2, 645² = 2, 645. 2, 645 ≈ 7;

√8 ≈ 2, 828; porque, 2, 828² = 2, 828. 2, 828 ≈ 8;

√10 ≈ 3, 162; porque, 3, 162² = 3, 162. 3, 162  ≈ 10;

√11 ≈ 3, 316; porque, 3, 316² = 3, 316. 3, 316 ≈ 11;

√12 ≈ 3, 464; porque, 3, 464² = 3, 464. 3, 464 ≈ 12;

√13 ≈ 3, 60; porque, 3, 60² = 3, 60. 3, 60 ≈ 13;

√14 ≈ 3, 74; porque, 3, 74² = 3, 74. 3, 74 ≈ 14;

√15 ≈ 3, 872; porque, 3, 872² = 3, 872. 3, 872 ≈ 15.

1. FÓRMULA DAS RAÍZES QUADRADAS RACIONAIS

Como todas as raízes quadradas racionais não são “exatas” dar-se-á que essas raízes não são iguais (=), mas, aproximadamente (≈). Isto quer dizer, que a fórmula apresentada a seguir, proporciona somente a aproximação dessas raízes. Portanto é comum haver uma diferença de números abaixo de “um”.

(x), é a potência;

(y), é a potência de raiz quadrada perfeita, mais próxima do “x”;

(

Exemplo: (:

; ; ; ou, 1,5; Para aproximar mais ≈ 1, 414.

; ;  1,75; Para aproximar mais ≈ 1, 732.

; ;  2,25; Para aproximar mais ≈ 2, 236.

; ;  2,66; Para aproximar mais ≈ 2, 645.

; ;  2, 833; Para aproximar mais ≈ 2, 828.

; ;  3, 166; Para aproximar mais ≈ 3, 162.

; ;  3, 333; Para aproximar mais ≈ 3, 316.

; ;  3, 5; Para aproximar mais ≈ 3, 464.

Resumo:

Números elevados a 0, ou de potência 0 (x⁰), mostram ordens, graus: 1º, 2º, 3º...

Números elevados a 1, ou de potência 1 (x¹), mostram, especialmente, medidas e contagens lineares: (─); 1, 2, 3...

Números elevados a 2, ou de potência 2 (x²), mais conhecido por “ao quadrado”  (comprimentos vezes larguras) mostram medidas quadradas, por exemplos: medidas de terrenos, tecidos, pisos, etc. (□).

Números elevados a 3, ou de potência 3 (x³), mais conhecido por “ao cubo” (comprimentos, vezes larguras, vezes altura) mostram medidas cúbicas, por exemplos: medidas de capacidade de líquidas, cereais, graneis, sólidos, etc.

Números elevados a partir de 4..., ou de potência, ou de expoente a partir de 4... (x^{4, 5, 6...}) - são importantes para mostrar um número alto em poucos algarismos, exemplos:

10 000 = 10⁴;

100 000 = 10⁵;

1000 000 = 10⁶;

1000 000 000= 10⁹.

1. EXPOENTES NEGATIVOS

Expoentes negativos, automaticamente tornam sua base em uma fração. Há três regrinhas para operar um termo com expoente negativo, a saber:

• Transformar a base em uma fração, como numerador: (2^-2, 3^-2, 4^-2, 5^-2) ⇾, , , ;
• Reverter a fração e trocar o sinal do expoente: , , , ;
• Transformar as potenciações em potências: , , , ; ⇾ (; ; ; ; ⇾ (; ; ; .

1. FRAÇÕES COM EXPOENTES NEGATIVOS

A operação de frações com expoentes negativos é mais fácil que a operação semelhante dos números inteiros, porque não precisa transformar em frações. Só há duas regras:

• Reverter a fração e trocar o sinal do expoente: , , , ; ⇾

, , , ;

• Transformar as potenciações em potências: (; ; ; ; ⇾ (); ; ; .

Neste capítulo foram aplicados oito pontos, a saber: Base, Expoente, Raiz, Raízes quadradas perfeitas, Raízes quadradas racionais, Fórmula das raízes quadradas racionais, Expoentes negativos e Frações com expoentes negativos.

4. RADICIAÇÃO

A radiciação é a operação inversa a potenciação:

Onde:

n: é o índice;

√: é o radial;

a: é o radicando.

Seja “a” um número real (qualquer número), e “n” um número natural diferente de “0” (todos os números inteiros não negativos).

É dito que  (a raiz enésima de “a”), é um número “b” tal que, bⁿ = a. exemplos:

 = -2 → (-2)³ = -8;

√25 = 5 → 5² = 25.

• DEFINIÇÃO

Da definição, temos que  = “a”, para todo “a ≥ 0” : Ler-se: A raiz enésima (n) de “a” elevado a “n” é igual a “a” para todo “a” maior igual a zero:

 = “a” →  (eliminando o índice e o expoente) = “8”,

Porque ao eliminar o índice e o expoente, o valor do radicando não altera, caso, esse radicando for: maior igual (≥ 0) a zero. Exemplo:

 = “3”

Mas se esse radicando for menor que zero (> 0), veja um exemplo de uma equação do segundo grau:

X² – 49 = 0;

Assim o “x” vai para o módulo:

│x│= ± 7

 = - “2”;

Lembrando de que, o sinal negativo é conservado, mas ele não pertence à raiz.

Observação: números linhas, como no caso: ‘x, “x... só são relativos às raízes das incógnitas.

• ÍNDICES PARES E ÍMPARES

1. ÍNDICES PARES:

, o “x” (x ≥ 0). Quando o índice for par, o radicando será sempre um número natural (N). Os Números Naturais (N) são {0, 1, 2, 3, 4, 5...}. Isto é, todos os números inteiros “a partir do zero”.

Exemplos:

, (eliminado o índice e o expoente):  (o radicando passa a ser um módulo): │-9│, que obrigatoriamente, precisa ser trocado o sinal, porque radicando de índice par, não pode ser menor do que o zero. Lembre-se: (x ≥ 0).

, (eliminado o índice e o expoente): (o radicando passa a ser um módulo): │3-√2│(e como a raiz de “2” é menor que o “3”, então, o resultado será maior que o zero): “3-√2”.

, (eliminado o índice e o expoente): (o radicando passa a ser um módulo): │2- √5│(e como o “2” é menor que o “√5”, e esse resultado não ser menor que o zero “visto que o índice é par”): [“2 -√5” ou, (2 - 2.23 = - 0,23)], nesse caso, é preciso trocar duas coisas, a saber: “os sinais” e seus lado:

“√5 - 2” porque como a raiz de 5, é maior que “2”, o resultado é:  ≥ 0

1. ÍNDICES ÍMPARES:

, o “x” (x ∊ R). Quando o índice for ímpar, o radicando será pertencente ao conjunto dos números reais (R). Isto é, ele pode ser qualquer tipo de número (R=N∪Z∪Q∪I). Exemplos: (... -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...; 2/3; ½; 0,5; 3.14; 3, 3, 3...)

• POTÊNCIAS DE UM NÚMERO RACIONAL (Q)

Os números racionais (Q) são compostos também pelas frações. As potências de bases “a” (a > 0), e com expoentes racionais: m/n, é o número:

A base “a” vai para dentro do radial (√), passando a ser o radicando “a”;

 O numerador do expoente “m” vai para dentro do radial, como expoente;

 E o denominador do expoente “n” passa a ser índice.

Exemplos:

→  = √27;

→  = √3125;

• PROPRIEDADES

Exemplo:

O primeiro passo é encontrar seus mínimos múltiplos comuns (m. m. c.):

Mas, pode surgir uma dúvida: - a raiz quadrada de 12 é realmente 2√3? Há uma fórmula para encontrar raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos, como no caso do 12. Veja:

; Onde:

1. X é o quadrado imperfeito “em operação”;
2. Y é o “quadrado perfeito” mais próximo ao “x” caso ele tenha dois “quadrados perfeitos” com a mesma distância (um antes e outro depois, é óbvio), opta pelo “y” anterior;
3. Tudo isso, divido por “2” que multiplica a raiz quadrada do “y”:

Exemplo:

; ; √12 = 3,5;

Mas, pode haver ainda outra indagação: - deu um resultado diferente de 2√3?

Resposta, o resultado é exatamente igual, veja:

; ; √3 = 1,75;

Então, 2√3 = 2 (1,75) = 3,5.

Exemplo:

O primeiro passo é encontrar seus mínimos múltiplos comuns (m. m. c.):

A raiz cúbica de “4” é um número entre: 1.587, e 1.588, arredondando por cima: é ≈ 1.588: 6 . Então,

Exemplo:

Vejam:  (divide o índice pelo expoente):  =  = 4.

• CLASSIFICAÇÃO DO VALOR DA RADICIAÇÃO

Fórmula: ,

Isto é: só podemos multiplicar um índice “por certo número” quando multiplicamos também o expoente “por esse mesmo número”.

Trabalho:

Coloquem em ordem crescente os seguintes números:

Caso os índices fossem iguais, bastavam comparar os radicandos. Mas como eles são diferentes, é preciso seguir os seguintes procedimentos:

O primeiro passo é colocar esses índices em evidência, através do m. m. c. (mínimo múltiplo comum):

Esse novo índice o “12” será dividido por cada índice primitivo, para que possa encontrar o número que irá multiplicá-lo:

12: 3 = 4 (então o três será multiplicado pelo “4”) = (3. 4);

12: 4 = 3 (então o quatro será multiplicado pelo “3”) = (4. 3);

12: 6 = 2 (então o seis será multiplicado pelo “2”) = (6. 2).

E conforme a fórmula, “multiplicando o índice por um número” é preciso multiplicar também o “expoente pelo mesmo número”:

    =     =

Com os índices iguais, basta comparar qual radicando é menor e maior:

Com os radicandos selecionados, basta selecionar os termos primitivos:

  Resposta:  

• RAIZ DE RAIZ

Fórmula:  

A raiz e de uma raiz, consiste na multiplicação dos seus índices.

Trabalho:

Simplifique:

Os radicandos dos primeiros radicais, vão para dentro do segundo radical, elevados aos índices desse segundo radical:

Em seguida, multiplique os “índices dos radicais”, e atualizar os “números com expoentes”:

 =  

Com os índices iguais, basta colocá-los em só radical:

→  →

Divide o índice “6” pelo expoente “2”: 6/2=3;

Então,  =  = . Resposta:

• RADICIAÇÃO FRACIONÁRIA

Fórmula:  

Uma fração sob um radical será distribuído um radical para o numerador, e outro para o denominador. E vice-versa.

Trabalho:

Calcule:  =

 + (execute a divisão):  +  =  +  (Elimine os índices e os expoentes): 2 + 4 = 6. Então:  = 6.

5. EQUAÇÕES

Para, Giovani, Castrucci e Giovani Jr. (2002, p. 303), O substantivo feminino “Equação” é composto por um vocábulo grego, que quer dizer, igualdade. Portanto, o sinal de igualdade (=) é a primeira característica de uma equação. E a sua segunda característica é a presença das incógnitas (que do grego é mistério), elas são representadas por letras, exemplos: “x”, “y”, “z”, ou “k” e etc.

Será tratado: Equações do Primeiro Grau, Sistemas Lineares, Equações do Segundo Grau, Equações do Terceiro Grau, Equações do Quarto Grau, Equações do Quinto Grau, Polinômios e Equações Exponenciais.

• EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Para, Duval (2003, p. 11-33), assim funciona as Regrinhas Básicas para a execução da Equação do Primeiro Grau. Fator de suma, visto que, muitas operações matemáticas dependem delas. Onde uma letra qualquer (X, Y, Z, etc..) chama-se incógnita (que quer dizer mistério). E o alvo da operação é encontrar o seu valor. (CUNHA, 2017)

Segundo, Giovani, Castrucci e Giovani Jr. (2002, p. 303), assim funciona o passo-a-passo para execução da Equação do Primeiro Grau:

1. É preciso saber que: O sinal de igualdade “=” é insubstituível. Inclusive a palavra “equação” significa igualdade;
2. Depois deve entender que: O primeiro lado, ou o lado anterior ao sinal de igualdade “=” é o lado das incógnitas (X, Y, Z, etc..) e também o lado dos termos dependentes, exemplos (2x, 3x, 4x... 2y, 3y, 4y... 2z, 3x, 4z...), isto é, todos os números ligados a uma incógnita - que pode ser também dependente de qualquer outra letra;
3. Em seguida, é necessário compreender que: O segundo lado, ou o lado depois do sinal de igualdade “=” é o lado dos termos independentes, exemplos: ... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...Esses números não são dependentes, isto é, ligados a alguma letra;
4. Posteriormente, é preciso: Colocar cada termo (número) em seu respectivo lado: as incógnitas e os termos dependentes no primeiro lado, relacionado ao sinal de igualdade “exemplo (...X, 2X... =); e os termos independentes (exemplos:... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...), ficarão no segundo lado, com relação ao sinal de igualdade “=...-2, -1, 0, 1, 2...”. [Exemplo: Equação bruta (2X – 3 = 6- X); Equação efetuada o 1º passo, ou melhor, colocado cada termo em seu respectivo lado (2X + X = 6 + 3)];
5. Depois: O termo mudando de lado, é preciso trocar o sinal (se for positivo, passa a ser negativo, e vice versa);
6. Então, é imprescindível: Fazer os cálculos dos termos semelhantes em seu respectivo lado;
7. Concluindo: A incógnita é igual (=) o termo independente, dividido (/) pelo termo dependente:
8. Exemplo: a equação: - 8 + 2x + 2 + 3x = 4 + x + 6;
9. Primeiro: colocar cada termo em seu respectivo lado: 2x + 3x + x = 4 + 6 - 8+ 2;
10. Segundo: trocar os sinais dos termos que mudaram de lado: 2x + 3x - x = 4 + 6 + 8 – 2;
11. Terceiro: agora é hora de calcular os termos: 4x= 16;
12. Quarto: Incógnita igual (=) o termo independente, dividido (/) pelo termo dependente: Exemplo:; resultado: X =4.(CUNHA, 2017)

Para quase tudo na matemática, até mesmo na matemática superior, essas regras são imprescindíveis. (CUNHA, 2017)

Para Duval (2003, p. 11-33), ainda há a Equação do 1º grau sem incógnita: A muito simples operação a seguir, tem feito a muitos perder ponto nos concursos: 5 + 2 x 3 – 1. Nesse caso é importante lembrar de que o sinal de multiplicação une os números tornando em um só número, exemplo: 5 + 2 x 3 – 1 = 5 + 6 – 1 = 11 -1 = 10. Isso vale também para a divisão, exemplo:(5 + 6 / 3 – 1);5 + 6 / 3 – 1, = 5 + 2 – 1 = 7 – 1 = 6.(CUNHA, 2017)

• INTERPRETAÇÃO DE PROBLEMAS PARA EQUAÇÃO DO 1º GRAU:

Segundo, Giovani, Castrucci e Giovani Jr. (2002, p. 303), assim funciona a interpretação de problemas para equação é de suma importância, no caso de 1º grau:

1. EXEMPLO I:Um homem tinha 5 filhos, o qual ensinava-os a pescar. Primeiro, ele tirou 3 deles que estava pescando, os quais, pescaram 9 peixes; e colocou os outros 2 que perderam 1 um peixe. Distribuindo igualmente a quantidade de peixes pescados para cada um dos pescadores, são quantos peixes pescados?(CUNHA, 2017)

Interpretação: “Um homem tinha 5 filhos, o qual ensinava-os a pescar” essa frase não se enquadra na operação de equação de 1º grau – mas, será de suma importância essa informação; “Primeiro, ele tirou 3 deles que estava pescando, os quais, pescaram 9 peixes” essa frase se encaixa muito bem nesse tipo de equação (-3, e +9).Então, já se pode montar: [-3 pescador, + 9 (como estamos procurando um número relativo aos pescadores, agora deve deixar somente quantidade de peixes)], depois, substituir o “pescador” por “X” (-3X), mais o “9”.Assim já se tem: (-3X + 9),com isso, encontra-se uma parte da equação. Deve se continuar montando: “e colocou os outros 2 que perderam 1 um peixe” Assim, é encontrada a outra parte da equação (+2X – 1). Então, a equação que pode ser montada assim: 2X – 1 = -3X + 9; agora é só resolvê-la:2X + 3X = 9 +1;5x = 10; X=10/5 = 2. Resposta: cada um deles pescaram 2 peixes. Ou, assim: -3X + 9 = 2X – 1: -3X - 2X=  – 1 – 9: -5x = -10: -x = -10/5: x = 2.  (CUNHA, 2017)

1. EXEMPLO II: João e Maria são irmãos. João tem 8 anos e Maria é 2 anos mais velha que ele. Calculando-se a idade dos dois irmãos e dobrando o resultado, é a idade de sua mãe. Então, quantos anos ela tem? Interpretação: A idade da Mãe é igual às idades de João e Maria multiplicada por dois; Mãe é igual 8 + (8+2) vez 2; Mãe será representada pela letra “M”;M = 2 (8 + 10); M = (16 + 20); M = 36;Resposta, a mãe tem 36 anos. (CUNHA, 2017)

• SISTEMAS LINEARES

Para Silva (2019), ainda fazendo parte das equações do 1º grau, há os Sistemas Lineares. Há duas características para esses sistemas, a saber: (a) Trata-se de equação com mais de uma incógnita; (b) E refere-se à conjugação de mais de uma equação.

Segundo, Jaconiano e Camelier (2018), tanto há várias formas de sistemas lineares, como há vários tipos de resolvê-los. As formas são: 2x2; 3x3; 2x3...; E as formas de resolvê-los são: Por Adição; Por Substituição; Por Matriz. Mas também por: Subtração, Multiplicação e por Escalonamento.

1º) SOLUÇÃO POR ADIÇÃO:

Jaconiano e Camelier (2018): Sistema de Equação:

2x + 8y = 16

4x – 8y = 8

1º passo adição:

2x + 8y = 16

4x – 8y = 8

6x + 0 = 24;

2º passo, “x” igual a 24, dividido por 6:

; x = 4;

3º passo, para definir o valor de “y” basta substituir o “X” pelo seu valor numérico na equação do sistema:2x + 8y = 16: substituído: 2(4) + 8y = 16; 8 + 8y = 16; 8y = 16 – 8

; y = 1;

Solução: X = 4; e Y = 1. (JACONIANO e CAMELIER, 2018)

2º) SOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO:    

Silva (2019): Sistema de Equação:

2x + 8y = 16

4x – 8y = 8

1º passo: transformar a 1ª equação, em: X igual a 16; o “8y” atravessa a igualdade, com sinal negativo; e o “2” vira denominador:

2º passo: conservar a 2ª equação, levando em conta, o novo valor do: X:

3º passo: eliminar os parênteses “através da multiplicação” de seus numeradores:

4º passo: encontrar o M. M. C. (Mínimo Múltiplo Comum) dos denominadores, para torná-los em evidência (ou, iguais); depois: (a) “dividi-lo pelos denominadores diferentes”, em seguida: (b) “multiplicar os resultados das divisões pelos numeradores”. Exemplo:

Como 2 dividido, por 2, é igual a 1 (todo número dividido por ele mesmo é igual a 1); e dois dividido por 1 é igual a dois (todo número dividido por 1, é igual a ele mesmo), então, é multiplicar: :;

; ;Y = 1;

Sabendo que “Y” é igual a 1, agora é fácil encontrar o valor de “X”:

;; x; x; X = 4.

Solução: X= 4, e Y = 1, como o resultado anterior. (JACONIANO e CAMELIER, 2018)

3º) SOLUÇÃO POR MATRIZ:

Silva (2019): Sistema de Equação:

2x + 8y = 16

4x – 8y = 8

Para essa forma de resolver esse sistema de equação do 1º grau, primeiramente é preciso encontrar o Determinante, representado pela letra “D”:

Multiplicando os coeficientes de “X” pelo os de “Y”. Essa multiplicação é efetuada verticalmente “da direita para a esquerda negativando” e “da esquerda para a direita positivando” em seguida, adicioná-los:

2 + 8

4 – 8

D= (8.4) + [2 (-8)]; -32 + (-16) = D= -48;

O próximo passo é substituir os coeficientes dos “X”, pelos valores da igualdade; depois, multiplicar verticalmente “da direita para a esquerda negativando” e “da esquerda para a direita positivando” em seguida, dividir pelo Determinante “D”.

16 + 8

8 – 8

X= -(8.8) + [16 (- 8)]; - 64 + (-128) = -192/ 48 = 4; X = 4;

Neste passo, é substituir os coeficientes dos “Y”, pelos valores da igualdade; depois, multiplicar verticalmente “da direita para a esquerda negativando” e “da esquerda para a direita positivando” em seguida, dividir pelo Determinante “D”.

2 + 16

4 + 8

Y = - (16.4) + (2. 8); - 64 + 16 = - 48/ 48 = 1; Y = 1;

Solução: X= 4, e Y = 1, como o resultado anterior.

Segundo, Jaconiano e Camelier (2018), ainda há varias outras formas de resolver Sistemas Lineares de Equação do Primeiro Grau.(JACONIANO e CAMELIER, 2018)

• EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Segundo, Filho e Silva (2000, p. 20), a Equação do Segundo Grau é toda equação cujo maior termo “o termo dependente” é ao quadrado. Elas são sempre qual a zero, e os termos que antecedem o sinal de igualdade, são demonstrados por: a, b, c. Onde o “a” representa o termo dependente ao quadrado (a: x², 2X², 3X²...);O “b” representa o termo dependente de potência 1 (b: x, 2x, 3x...); e o “c” representa o termo independente de potência 1 (c: 0, 1, 2, 3...). A Equação do Segundo Grau pode ser completa, ou incompleta.(SILVA, 2019)

1º)EQUAÇÃO DO SEGUNDO COMPLETA:

4x² + 3x -1 = 0. Nesse caso: a: 4; b: 3; e c: ( -1). E para facilitar essa resolução, há Fórmula de Bhaskara:

Para, Filho e Silva (2000, p. 20), primeiramente, é utilizada a Fórmula de Delta: ; como: a: 4; b: 3; e c: ( -1):

; ; como - . -, = +:
; ;

E em seguida:

X = ; X = ; X =

X’ = ; X’ =

X’’ = ; X’’ = -1

Resultados:; e-1. (SILVA, 2019)

9. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS:

Exemplo I: 4x² + x = 0. Nesse caso: a: 4; b: 1; e c: o. Porque em falta de um termo, ele é substituído pelo zero:

; como: a: 4; b: 1; e c: o:

; ;

E em seguida:

X = ; X = ; X =

X’ = 0

X’’ = ; X’’ = ; Resultados: 0; - . (SILVA, 2019)

Exemplo II: 4x² -1 = 0. Nesse caso: a: 4; b: 0; e (-1): o. Porque em falta de um termo, ele é substituído pelo zero:

; como: a: 4; b: 0; e c: (-1)

; ; como - . -, = +:

E em seguida:

X = ; X = ; X =

X’ = ; X’ = ; X’ = ;

X’’ = ; X’ = ; X’ = ;

Resultados: ; e,- .

(SILVA, 2019)

• EQUAÇÃO DO SEGUNDO COM MAIS DE UMA INCÓGNITA:

              É comum se deparar com uma Equação do Segundo Grau, com uma incógnita diferente, além do X - comumente o K. Onde o alvo é encontrar o valor desse “K”.

              Exemplo: X² – 4X + (K – 1) =0;

[a= 1, b= (-4), c=(k – 1)].

𝞓= b²-4ac

𝞓= 4²-4. 1. (k – 1)

𝞓= 16 + 4k

Ao chegar nesse ponto, é só executar a equação do Primeiro Grau:

16 + 4k

-4k = -16

, k = 4.